النقطة التي تقسم الخط المستقيم إلى قطعتين متساويتين في الطول. أما مركز القوس فهو مركز دورانه

Transkript

1 مبادئ الهندسة المستويه النقطة والخط المستقيم والمستوى تقوم الهندسة على نقاط وخطوط وسطوح تماما كما هو الحال في اللغة التي تتكون من الحرف اللغوي والكلمة والجملة. ونحن إن عقدنا مقارنة مجازية بين الهندسة ولغة الكلام فإننا نجد أن النقطة الهندسية تناظر الحرف اللغوي وأن الخط يناظر الكلمة وأن المستوى يناظر الجملة وأن المجسم يناظر الفقرة. و عليه فالهندسة هي مجموع النقاط والخطوط والمستويات والمجسمات... الخ. الخط المستقيم هو الخط المكون من عدد هائل من النقاط على استقامة واحدة والذي له طول محدد بينما عرضه متناهي الصغر يكاد يكون صفرا. في الهندسة الا قليدية يوجد مستقيم وحيد يمر من نقطتين محددتين. عندئذ يعرف الخط المستقيم كأقصر مسافة بين النقطتين المحددتين لكنه قد يمتد إلى ما لا نهاية من الجهتين. من الممكن لمستقيمين في مستوى أن يكونا متوازيين أو متقاطعين في نقطة واحدة. أما في الفراغ فمن الممكن أن يكون المستقيمان متوازيين أو متقاطعين وحتى متخالفين أي أنهما لا يتقاطعان أبدا ولذلك لا يقعان في مستوى واحد. تميز القطع الخطية المستقيمة بنقطة البداية ونقطة النهاية وتبعا لذلك نقطة المنتصف. أما القطع القوسية فتميز بنقطتي البداية والنهاية مضافا لهما مركز القوس. نقطة المنتصف لقطعة خطية مستقيمة هي النقطة التي تقسم الخط المستقيم إلى قطعتين متساويتين في الطول. أما مركز القوس فهو مركز دورانه عند رسمه هندسيا. المثلث: شكل هندسي مستو ومغلق ناتج من تقاطع ثلاثة قطع خطية مستقيمة مع بعضها البعض. ويمكن تمييز المثلثات بتصنيفات مختلفة أشهرها قياس الزوايا وآخر قياس الا ضلاع. وفقا لقياس الزوايا: نقول مثلث حاد الزوايا ومثلث قائم الزاوية ومثلث منفرج الزاوية. 1

2 ويميز تبعا لذلك المثلث القائم الزاوية ومتساوي الساقين. والمثلث القائم الزاوية درجة. وفقا لقياس الا ضلاع: نقول مثلث مختلف الا ضلاع ومثلث متساوي الا ضلاع ومثلث متساوي الساقين. ونستطيع لكل مثلث تعريف قاعدته وارتفاعه. وتبعا لذلك تساوي مساحته حاصل ضرب نصف القاعدة في الارتفاع. إذا كانت القاعدة هي أحد الا ضلاع في المثلث فإن ارتفاع المثلث يمثل المسافة الرأسية بين رأسه وقاعدته أو امتدادها. 1 2 b h المساحة = لماذا يستخدم الكسر نصف ½ عند حساب مساحة المثلث تخيل أنك تريد حساب مساحة متوازي الا ضلاع المكون من قاعدة المثلث وارتفاعه كما في الشكل. مساحة متوازي الا ضلاع الناتج تكافئ bh وهذا ضعف مساحة المثلث.½bh 2

3 قواعد مثلثية: قاعدة 1: مجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث. نتيجة: الضلع الا كبر في مثلث يقابل الزاوية الا كبر في المثلث والضلع الا صغر يقابل الزاوية الا صغر فيه. قاعدة 2: مجموع زوايا المثلث 180 درجة. أو زوايا المثلث متكاملة. قاعدة 3: الزاوية الخارجية تكافئ مجموع الزاويتين الداخليتين وغير المجاورتين في المثلث. قاعدة 4: مجموع الزاويتين الحادتين في المثلث القائم الزاوية 90 درجة. أو الزاويتان الحادتان في المثلث القائم الزاوية متتامتان. 3

4 تكافو الا شكال الهندسية و تطابقها تكافؤ الا شكال الهندسية المستوية يتمثل في تساويها من حيث المساحة أو المحيط أما تطابقها فيعني تساويها مساحة وشكلا. فعندما نقول أن مربعا ومستطيلا متكافئان فهذا يعني أنهما إما متساويا المساحة أو متساويا المحيط. ولذلك فهما أي المربع والمستطيل لا يمكنهما البتة أن يكونا متطابقين. يكون المثلثان متكافئين عندما تتساوى مساحتيهما أو محيطيهما بغض النظر عن الا شكال التي عليه هذه المثلثات. وقياسا على ذلك يمكن القول أن مثلثا يكافئ مربعا إما مساحة وإما محيطا. تطابق المثلثات قاعدة 5: تطابق مثلثين بضلعين وزاوية إذا كان ضلعان في مثلث والزاوية المحصورة بينهما مكافئة لضلعين وزاوية بينهما في مثلث آخر فإن المثلثين متطابقين. قاعدة 6: تطابق مثلثين بزاويتين وضلع إذا كان ضلع وزاويتين في مثلث ما مكافئة لضلع وزاويتين في مثلث آخر فإن المثلثين متطابقين. قاعدة 7: تطابق مثلثين بثلاثة أضلاع إذا كانت ثلاثة أضلاع في مثلث مكافئة لثلاثة أضلاع أخرى في مثلث آخر فإن المثلثين متطابقين. قاعدة 8: تطابق مثلثين بضلعين وزاوية إذا كان ضلعين وزاوية في مثلث ما مكافئة لضلعين وزاوية في مثلث آخر فإن المثلثين متطابقين. 4

5 تمرين 1: ارسم مثلثا آخر يكافئ المثلث المرسوم من حيث المساحة بحيث يشتركان في القاعدة. الحل: مثلث يكافئ مثلث آخر في المساحة ولهما نفس القاعدة يعني أن لهما نفس الارتفاع h. إذا رسمنا خطا أفقيا من راس المثلث (يوازي القاعدة) فإن أي مثلث إضافي له نفس القاعدة ورأسه مرسوم عل الخط الموازي للقاعدة من النقطة B أو امتداداتها يستوفي المطلوب. تمرين 2: ارسم مثلثا آخر متطابقا مع المثلث المرسوم من حيث المساحة والمحيط. الحل: مثلث مكافئ لا خر يعني أنهما متساويا المساحة يعني مشترك معه في القاعدة b ولهما نفس الارتفاع h. أي مثلث إضافي فيه في الشكلين على اليمين تكون فيه AB=AB1=CB2 تستوفي المطلوب. قاعدة 9: المثلث متساوي الا ضلاع متساوي الزوايا. والعكس صحيح أيضا : المثلث متساوي الزوايا متساوي الا ضلاع. 5

6 قاعدة 10: المثلث متساوي الساقين متساوي الزاويتين المقابلتين للساقين. والعكس صحيح أيضا : المثلث متساوي الزاويتين متساوي الساقين المقابلين للزاويتين. قاعدة 11:. المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين يكون وتره مكافئا لقياس ساقه مضروبا في 2 قاعدة 12: المثلث قائم الزاوية وزواياه 30 درجة و 60 درجة يكون وتره مكافئا لضعف قياس ساقه المقابلة للزاوية 30 درجة بينما ساقة الا خرى فتكافئ طول الساق المقابلة لزاوية 30 درجة مضروبا في 3. 6

7 أوتار الدائرة وتر الدائرة هو الخط الذي يربط بين نقطتين على محيط الدائرة ولا يمر في مركزها. إذا مر وتر الدائرة في مركزها يصبح قطرا في الدائرة. وتر الدائرة يحصر قطعة دائرية من الدائرة هو الخط الذي يربط بين نقطتين على محيط الدائرة ولا يمر في مركزها. الا وتار المتساوية في الدائرة تحصر أقواسا متساوية. والعكس صحيح. الا قواس المتساوية في الدائرة تحصر أوتارا متساوية. الا وتار المتساوية في الدائرة أبعادها ثابتة عن مركز الدائرة. والعكس صحيح... نظرية: إذا تقاطع وتران داخل دائرة فإن حاصل ضرب جزئي الوتر الا ول يساوي حاصل ضرب جزئي الوتر الثاني. 7

8 نظرية: إذا تقاطع وتران خارج دائرة فإن حاصل ضرب جزئي الوتر الا ول يساوي حاصل ضرب جزئي الوتر الثاني. الزاوية المركزية: الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة وضلعاها نصفا قطرين في الدائرة. الزاوية المحيطية: الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها وتران في الدائرة. قياس الزاوية المركزية يمثل طول القوس المواجه لها مقسوما على نصف القطر بينما قياس الزاوية المحيطية يمثل طول القوس المواجه لها مقسوما على القطر. نظرية: الزاوية المركزية تساوي ضعفي الزاوية المحيطية المشتركة معها نفس القوس. الزوايا المحيطية المرسومة على قوس دائري واحد متساوية وكل منها تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة مع بعض في نفس القوس. نتيجة 1: كل زاوية محيطية مرسومة على قطر الدائرة قائمة. نتيجة 2: الزوايا المحيطية المشتركة في القوس/الوتر الدائري متساوية. وكل منها تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة مع بعض في نفس القوس. 8

9 المماس: هو الخط الذي يمس الدائرة ويقطعها في نقطة واحدة وحيدة. نظرية: مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. نظرية: المماسان المرسومان لدائرة من نقطة واحدة خارجية متساويان. الزاوية المماسية هي الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة وأي وتر في الدائرة يمر بنقطة التماس. نظرية: الزاوية المماسية المحصورة بين مماس دائرة ووتر فيها تساوي الزاوية المحيطية المرسومة على قوس الوتر في الجهة المقابلة. نتيجة: الزاوية المماسية تساوي نصف الزاوية المركزية المرسومة على نفس قوس الوتر. 9

10 الشكل الرباعي الدائري: هو الشكل الرباعي الذي يمكن رسم دائرة تمر في رؤوسه الا ربعة. الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري متكاملتان. والعكس صحيح. إذا كانت الزاويتان المتقابلتان في شكل رباعي متكاملتين فإن الشكل الرباعي دائري. الزاوية الخارجية في الشكل الرباعي الدائري هي الزاوية المحصورة بين وتر وامتداد وتر آخر متقاطعان. والعكس صحيح أيضا. الزاوية الخارجية في الشكل الرباعي الدائري تساوي الزاوية الداخلية المقابلة لمجاورتها. 10

11 نظرية: القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وبنصف طوله. نظرية: إذا رسم من منتصف أحد أضلاع مثلث خطا مستقيما يوازي ضلعا آخر فإن هذا الموازي ينصف الضلع الثالث وطوله يساوي نصف طول الضلع الذي يوازيه. نظرية: القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف توازي القاعدتين وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين. نظرية: القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف تقسمه إلى قسمين متساويين في المساحة وكل منهما يشكل شبه منحرف منفصل. نظرية: الا عمدة من رؤوس المثلث تلتقي في نقطة واحدة. 11

12 نظرية: منصفات زوايا المثلث تلتقي في نقطة واحدة. نقطة التقاء منصفات زوايا المثلث تبعد عن أضلاعه مسافات ثابتة. والعكس صحيح أيضا. تقسم نقطة الالتقاء منصفات زوايا المثلث إلى قسمين بنسبة 2 إلى 1 من جهة رأس المثلث. يمكن رسم الدائرة الداخلية inscribed circle من نقطة الالتقاء بحيث تمس أضلاع المثلث (من الداخل). نظرية: تلتقي الا عمدة على أضلاع المثلث من منصفات الا خيرة في نقطة واحدة تدعى نقطة الالتقاء. تبعد نقطة الالتقاء عن رؤوس المثلث مسافات ثابتة. يمكن رسم الدائرة الخارجية circumcircle من نقطة الالتقاء هذه لتمر في رؤوس المثلث من الخارج. تعريف: منصف زاوية المثلث هو المحال الهندسي للنقاط حيث تبعد كل نقطه عن ضلعي الزاوية مسافات ثابتة. وهو الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى قسمين متجاورين ومتكافئين. 12

13 الا شكال الرباعية مضلعات لكل منها أربعة أضلاع. 38 متوازي الا ضلاع: شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين. ضمن هذه الا شكال يوجد مربعين ومعين ومستطيل وكل واحد منها يشكل متوازي أضلاع نظريات هندسية: نظرية 1: كل ضلعين متقابلين في متوازي الا ضلاع متساويان. نظرية 1: كل ضلعين متقابلين في متوازي الا ضلاع متوازيان. نظرية 2: كل زاويتين متقابلتين في متوازي الا ضلاع متساويتان في القياس. نظرية 3: قطرا المستطيل متساويان في الطول وينصف كل منهما الا خر. والعكس صحيح. نظرية 4: الشكل الرباعي الذي قطراه متساويان في الطول وينصف كل منهما الا خر مستطيل. 13

14 نظرية 5: يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا ما حقق أحد الشروط التالية على الا قل: توازى فيه كل ضلعين متقابلين. تساوى فيه كل ضلعين متقابلين. تساوت فيه كل زاويتين متقابلين. ن صف قطراه كل منهما الا خر. تساوى وتوازى أي ضلعين متقابلين. نظرية 6: المستطيل ومتوازيات الا ضلاع المشتركة معا في القاعدة والمحصورة بين مستقيمين متوازيين متكافئة بالمساحة. نظرية 7: المثلث يكافئ نصف متوازي الا ضلاع أو المستطيل المشترك معهما في القاعدة والمحصورة جميعها بين مستقيمين متوازيين. نظرية 8: المثلثات المشتركة معا في القاعدة والمحصورات بين مستقيمين متوازيين متكافئة. نظرية 9: المعين هو متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويين أو قطراه متعامدان وينصف كل منهما الا خر. إذا تقاطع خطين فإن كل زوج من زواياه المتجاورة متكاملة وكل زوج من زواياه المتقابلة متطابقة. والعكس صحيح أيضا. إذا كان الخطان و L 1 L 2 متقاطعين فإن الزاويتين و متساويتان و الزاويتين و متساويتان. o 180 = + = + = + = + كما أن = و = 1. إذا تقاطع خط مع خطين متوازيين فإن كل زوج من زواياه المتناظرة متطابقة. والعكس صحيح أيضا. إذا كان الخطان و L 1 L 2 متوازييين فإن الزاويتين و متساويتان. الزاويتان و متناظرتان. 2. إذا تقاطع خط مع خطين متوازيين فإن كل زوج من زواياه المتبادلة متطابقة. والعكس صحيح. إذا كان الخطان و L 1 L 2 متوازييين فإن الزاويتين و متساويتان. الزاويتان و متبادلتان. 3. إذا تقاطع خط مع خطين متوازيين فإن كل زوج من زواياه المتقابلة متكاملة. والعكس صحيح. 14

15 إذا كان الخطان و L 1 L 2 متوازييين فإن الزاويتين و متكاملتان. الزاويتان و متكاملتان أي أن o مجموعهما يساوي إذا تعامد خطان على خط ثالث يقطعهما فإن الخطين متوازيان. إذا كان الخطان و L 1 L 2 متوازييين فإن القاطع العمودي عليهما يصنع زاويتين و متساويتان وعموديتان. 5. إذا تعامد خط مع أحد الخطين المتوازيين فإنه يكون عموديا على الخط المتوازي الا خر. إذا كان الخطان و L 1 L 2 متوازييين فإن القاطع العمودي L 3 على أحدهما هو عمودي على الا خر. 6- قاعدة: الزاويتان الحادتان متطابقتان إذا كان ضلعاهما متعامدين بشكل متتالي. 15